NOKTA KAVRAMI

     Bu yazıda; nokta hakkındaki,özellikle de matematik ve geometrideki  nokta kavramı hakkındaki düşüncelerimi sizlerle paylaşmak istiyorum.
     Gerçekte, nokta denildiğinde hepimizin aklına ilk önce bir noktalama işareti olan ve yaygın olarak bir cümlenin bittiğini göstermek için kullandığımız  "." işareti gelir.  Elbetteki bir noktalama işareti olarak noktanın,edebi anlamda daha bir çok kullanıldığı yer vardır. Bunların neler olduğunu internetten öğrenmek kolaydır. Bütün bunlarla birlikte bazen sabit bir yeri belirtmek için ya da durmayı, susmayı,değiştirmeyi istemek anlamında da kullanılmaktadır. Örneğin "Konuşmanın burasına bir nokta koyalım" denildiğinde,üzerinde konuşulan konunun artık konuşulmamasına karar verildiği belirtilmek istenmiştir.
    Ancak bizim asıl amacımızın, noktanın matematik veya geometrideki kullanımı, anlamı ve önemini belirtmek olması sebebiyle şimdi söz konusu hususlara değinmeye çalışalım.

    Nokta; geometrinin ve belki de matematiğin yapı taşıdır diyebiliriz. Çünkü geometrik her şekil noktalardan oluşmuş bir küme(yığın) olarak düşünülmektedir. Örneğin; bir doğru parçası, bir doğru, üçgen, dörtgen, çember, konikler, küpler, piramitler, fonksiyon grafikleri, fraktallar vs. bir çok şey noktaların kümesi olarak kabul edilmektedir. Belki de bu nedenledir ki, bir temel yapı elemanı olarak nokta, bir çok orta öğretim ders kitabında tanımsız ve boyutsuz olarak kabul edilmektedir. Hatta birer nokta kümesi olan doğru, düzlem ve uzay da tanımsız olarak kabul edilen özel kavramlardır.  

      İşte aşağıda bazılarına değineceğim bir çok sıkıntı tam da buradan, yani noktanın tanımsız ve boyutsuz olarak kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır.

    Matematiğin önemli bir dalı olan geometri(düzlem geometri, uzay geometri, analitik geometri,diferansiyel geometri,vb) de doğru,doğru parçası,ışın, açı, üçgen, çokgen, çember, elips, hiperbol, parabol, küre ve daha başka bir çok kavramın tanımında, noktadan doğrudan yararlanılır. Örneğin küre;" uzayın sabit bir noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi" olarak tanımlanır.

    Hem geometride hem de matematikte sıkça kullanadığımız sayı eksenini (Reel sayıları) hatırlayalım. Bu eksen (doğru); her sayıya bir noktanın ve her noktaya da bir reel sayının eşlendiği bir nokta kümesidir. Bu sayı ekseninde $A$ noktasına karşı gelen sayı $a$ ise,bu $a$ sayısına $A$ noktasının koordinatı dendiğini ve $A(a)$ şeklinde gösterdiğimizi biliyoruz. Bu sayı ekseninin iki farklı noktası $A(a),\quad B(b)$ olsun.
Uzaklık Postulatına göre; farklı noktaların her çiftine tek bir pozitif sayı karşılık gelir. Bu pozitif sayıya bu iki nokta arasındaki uzaklık diyoruz. $A$ ve $B$ farklı iki nokta olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklık $|AB|$ şeklinde gösterilir. Ayrıca $A=B$ ise $|AB|=|AA|=|BB|=0$ dır.   

    Postulatta sözü edilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın: $|AB|=|b-a|...........*$ şeklinde gösterildiğini biliyoruz.
 Geometri ile biraz olsun ilgili olan herkes, $[AB]$ gösterimlerimi ile; bir doğrunun ya da sayı ekseninin, uç noktaları $A$ ve $B$ noktaları olan ve bu noktalar da dahil olmak üzere aralarındaki noktalardan oluşan $AB$ doğru parçasını kast ettiğimizi bilir. Benzer olarak $[AB[ $ ile, $A$ noktası dahil $B$ noktası hariç aradaki noktalar kümesi olan $AB$ ışınını kast ettimizi ve yine $]AB[$ ile de hem $A$ hariç, hem de $B$ hariç aradaki noktalardan oluşan kümeyi kast ettiğimizi bilir. Bunların tanımından da anlaşılacağı üzere üç nokta kümesi de birbirinden farklıdır. Dolayısıyla kümeler arasındaki fark işlemi yardımıyla, $[AB]-[AB[=\{B\}$ ve benzer olarak $[AB[-]AB[=\{A\},\quad [AB]-]AB[=\{A,B\}$ eşitliklerini yazabiliriz.

   Öte yandan orta öğretime kaynaklık eden matematik ya da geometri ders kitaplarında ya bu hususa hiç değinilmemekte ya da, bu üç farklı nokta kümesine karşılık gelen uç noktalar arasındaki mesafe,her üçü için de $*$ daki değer olarak alınmaktadır. Örneğin $[AB[-]AB[=\{A\} $ olan $[AB[ $ ile $]AB[$ 'nin boyları aynı ise $\{A\}$ noktası boyutsuz,yani$|A|=0$ demektir. Çünkü eksikliği boyutu değiştirmemektedir. Aynı şekilde $[AB]-]AB[=\{A,B\}$ olmasına rağmen uzunlukları aynı sayılıyorsa bu sefer de hem $A$ noktası hemde $B$ noktasının eksilmesinin uzunluğu değiştirmediğini söyleyebiliriz.  Böyle olunca da aşağıdaki bazı soruların cevaplanması gerekmektedir.

1) Belli bir uzunlukta olan bir doğru parçasının uçlarından (ya da bir ucundan)her seferinde bir nokta çıkaralım. Bu işlemi  $n$ kez yapalım. Her işlemden sonra doğru parçasının boyu değişmiyor ise $n\rightarrow \infty$ için durum nedir? Bu nokta çıkarma işlemini ikişer nokta ,üçer nokta,...,n-er nokta çıkararak yapalım. ve çıkarma işlemini sonsuz kez yaparak,noktaları(eğer başarabilirsek) tüketelim.Son durumda başlangıçtaki doğru parçasının boyu için ne söyleyebiliriz? Yani bir doğru parçasından istediğimiz kadar nokta çıkarırsak(silersek) bu doğru parçasının uzunluğunda hiçbir değişiklik olmaz mı?
2) Her biri boyutsuz olan noktalardan oluşan bir doğru parçasına karşı gelen uzunluğun açıklaması nasıldır?
3)Yalnız bir noktası eksik olan bir fonksiyon grafiğinin süreksizliğine, boyutsuz olan bir şeyin sebep olduğunu nasıl açıklayabiliriz.
4)Eşit uzunlukta olan doğru parçalarının eşit sayıda nokta içermediklerini söylemek ne kadar yanlıştır? Ya da eşit sayıda nokta içerdiklerini söylemek ne kadar doğrudur?

   Buna benzer daha bir çok soru sormak mümkündür.  En azından benim açımdan bu kadar fazla cevaplayamadığım soru varken noktayı boyutsuz kabul etmek ne kadar doğru olur?

    Şimdi biraz da noktanın matematikteki kullanımına değinelim. Örneğin $2.3=6$ türünden bir çarpma işlemini hepimiz çok sık yapmaktayız. Burada nokta "çarma işleminin sembolü" olarak kullanılmıştır. Yine vektörlerde İç çarpım ve vektörel çarpım gibi iki türlü çarpma işlemini birbirinden ayırmak için,iç çarpıma bazen nokta çarpım dendiği de olur. Aslında çarpma işlemi bir ikili işlem, yani bir fonksiyondur.
    Ayrıca $1234567890$ gibi bir sayının okunuşu daha kolay hale getirmek için yine noktadan faydalanırız. Bu sayıyı sondan başa doğru noktalar yardımıyla üçerli gruplarsak $1.234.567.890$ olur. Bu haliyle sayıyı daha rahat okuyabiliriz.
     Matematikte; bir noktanın komşuluğu, bir noktada limit,bir noktada süreklilik,bir noktada türev,bir nokta komşuluğunda seriye açılım,fonksiyonların birebirliği,örtenliği, gibi bir çok önemli işlem adından da anlaşıldığı gibi noktaya dayalıdır.
    Matematiğin en önemli konularından biri olan sayılar,sayı kümeleri yine nokta kavramıyla çok yakından ilgilidir. Kümelere dayalı olarak yapılan,bağıntı ve fonksiyon kavramları ve bu kavramlara dayalı olarak geliştirilen limit,türev ve integral kavramları dizi ve seri kavramları ve bunlara bağlı olarak geliştirilen birçok matematiksel konuların temelinin nokta olduğunu söylemek mümkündür.

    Hem matematiğin hem de geometrinin yapı taşı niteliğinde olan, fakat tanımsız ve boyutsuz kabul edilmesinin bir çok soruya yol açtığı bu kavramın bugüne kadar kabul edilebilir bir tanımının yapılmamış olması çok ama çok önemli bir eksikliktir. Atom,atom altı parçacıkların hatta madde ve anti madde kavramlarnın tanımlanabildiği ve büyüklüklerinin hesaplanabildiği bir çağda, yukarıda kısmende olsa dile getirdiğim sorunların aşılması için, sanal alemin bir elemanı olan NOKTA'nın daha derinlemesine ve daha ciddi olarak ele alınmasının zamanının çoktan geçtiğini sanıyorum. NOKTA'nın yeniden keşfinin belki matematiğin yeniden keşfi olabilir.